מתמטיקה - מאמרים


אינטגרלים

נגזרת של פונקציה היא הפונקציה שמתאימה לכל נקודה את שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו. אינטגרל של פונקציה היא הפעולה ההפוכה לחישוב הנגזרת, כלומר התשובה לשאלה "לאיזו פונקציה תהיה נגזרת שזו הנוסחה שלה?". המילה העברית לאינטגרל היא אסכֶּמֶת.

חישוב אינטגרלים נעשה בכמה דרכים. הדרך הראשונה היא חשיבה בהיגיון - איזו פונקציה תיתן את הנגזרת המתבקשת. הדרך השניה היא מתוך רשימת נוסחאות שנקראת "רשימת אינטגרלים מידיים". דרך מתוחכמת יותר היא שימוש בשיטות כמו החלפת משתנה או אינטגרציה בחלקים, או אינטגרציה נומרית.

התוצאה המתקבלת היא פונקציה, וליתר דיוק משפחה של פונקציות כי הוספת מספר קבוע כלשהו לפונקציה מסויימת לא משנה את הנגזרת שלה. את הקבוע מסמנים באות C, את הפונקציה נהוג לסמן ב- F גדולה, והיא נקראת "הפונקציה הקדומה" של הפונקציה הנתונה f. החישוב הזה נקרא מציאת "האינטגרל הלא מסויים".

המשימה של חישוב אינטגרל לא מסויים היא מציאת הפונקציה הקדומה לפונקציה נתונה. בהינתן פונקציה f(x)  zzz המטרה היא למצוא פונקציה F(x)   zzz כך שמתקיים
 
F'(x)=f(x)               

 כדי לפתור שאלות מסוג זה יש כמה דרכים עיקריות.
הראשונה היא דרך ההיגיון. פשוט שואלים "מה היא הפונקציה שאם נגזור אותה נקבל את הפונקציה שנתונה?". לדוגמה ידוע שהנגזרת של x2 היא 2x, ואז אם שואלים מה היא הפונקציה הקדומה של 2x התשובה כבר ידועה – x2 . לפעמים צריך קצת יותר תחכום. למשל כאשר ידוע שהנגזרת של x5 היא 5x4 אבל כדי למצוא את הפונקציה הקדומה של x4. התשובה במקרה הזה היא x5/5.

 תרגול:


 מצא בכל סעיף פונקציה שזו הנגזרת שלה:
 
9.   cos(x)

7.   x3+x2+x

5.   3x2+1

3.   15x4

1.   7x6

10.   sin(x)

8.   ex

6.   8x7+6x

4.    30x5

2.   20x19


 
 לפיתרונות והסברים' href="http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/articles/article.asp?forum=457&a=89577&c=3126&sc=0&ssc=0" target=_blank href_cetemp="http://www.tapuz.co.il/tapuzforum/main/articles/article.asp?forum=457&a=89577&c=3126&sc=0&ssc=0"> לפיתרונות והסברים.
 
צריך כמה חישובים בשיטת "ניסוי ותעיה" כדי להגיע אל התשובה הנכונה, אבל בדרך הזאת אם יודעים טוב נגזרות והגיעו לתוצאה – ברור שהיא התוצאה הנכונה, כך שהזמן שהיא לוקחת משתלם בדרך כלל.
 במציאת פונקציה קדומה חשוב לזכור שהתשובה שמקבלים היא לא התשובה היחידה. למשל 2x היא הנגזרת של x2 , אבל גם של x2 + 1 וגם של x2 + 2 וגם של x2 – 15 . באופן כללי אפשר לומר ש2x היא הנגזרת של פונקציה מהצורה x2 + C לכל מספר שהוא C : חיובי או שלילי, טבעי, רציונלי או אירציונלי.
הדרך הפורמלית לכתוב את התוצאה היא:

ò2x dx= x2 + C
זהו תיקון של הנאמר קודם. המטרה היא לא למצוא פונקציה אלא למצוא משפחה של פונקציות, ולכל תוצאה שמתקבלת מוסיפים את הקבוע הלא-מסויים C, ומכאן השם של החישוב.

הסבר על הסימונים:
הסימון ò שלפני הפונקציה הוא סימן האינטגרל והוא עיוות של האות S לסימון המילה הלטינית ל"שטח". על הקשר לשטח - בהמשך.
הסימון dx שאחרי הפונקציה הוא סימון פורמלי ומטרתו לומר שאנחנו מחפשים פונקציה שבה המשתנה הוא x.
 
תרגול:
1. כתוב את התשובות של התרגילים הקודמים בצורה פורמלית.
2. חשב את האינטגרלים הבאים:
 


3. מבין הפונקציות הבאות מצא את הפונקציה ש... היא לא הנגזרת שלה.
 

 
 לפיתרונות
 
הדרך השניה: אחרי שמחשבים כמה וכמה אינטגרלים מסוג זה אפשר להגיע גם לכמה כללים של אינטגרלים, שנובעים מתוך כללי הנגזרות המוכרים.
 

לדוגמה, אם ניקח נגזרת של פונקצית חזקה, יש לנו כלל שלכל פונקציה xn הנגזרת מקבלת את הצורה nx n-1 . מכאן אפשר לכתוב את הכללים הבאים:

הפונקציה הקדומה של nx n-1 היא  xn+C
הפונקציה הקדומה של
 (n+1)xn
היא x n+1 + C .
 הפונקציה הקדומה של xn היא  .x n+1 /( n+1)  + C

הכתיב המתמטי של הכלל הזה:
 
ò xn dx = x n+1 /( n+1)  + C

 
מתוך כללי נגזרות אחרים מוצאים כללי אינטגרלים אחרים ואותם אפשר למצוא בתוך טבלאות של "אינטגרלים מיידיים" שמסייעות לחישוב.
 

הדרך השלישית היא "טריקים" לחישוב כמו שינוי משתנה או אינטגרציה בחלקים שנובעת מן הכלל לחישוב נגזרת של מכפלה . בדרך הזו כדאי להשתמש כאשר יש מחזוריות בנגזרות הפונקציה הרבות , כך שהאינטגרלים בשני האגפים יכולים להתחבר זה לזה, ולתת תשובה.

 באופן גרפי, האינטגרל מאפשר לחשב את השטח שנמצא מתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה-x. היסטורית, זאת היתה השאלה שהטרידה את המתמטיקאים במאה התשע-עשרה ושהובילה לגילוי האינטגרלים. ההפתעה היתה לגלות שמדובר בפעולה ההפוכה לפעולת הנגזרת, שהיתה המענה לשאלת משיק לעקומה שהטרידה גם היא את החוקרים באותה תקופה.

בגלל זה, חלק משאלות שמבקשות פיתרון בעזרת אינטגרלים מנוסחות בצורת "מה הוא השטח שמתחת לגרף?" או "מה הוא השטח שבין שני הגרפים הנתונים?". התוצאה במקרה הזה הוא מספר המציין את מידת השטח המבוקש, והחישוב נקרא "האינטגרל המסויים". בחישובי האינטגרל המסויים התוצאה היא מספר ממשי, שנותן את השטח מתחת לגרף הפונקציה, או מתחת לגרפים של הפונקציות הנתונות, או בין הגרפים של הפונקציות הנתונות בין הערכים המבוקשים.
 
שטח אמור להיות מספר חיובי, ואם מתקבלת תוצאה שלילית בחישוב אינטגרל זה סימן לכך שמדובר בשטח שנמצא מעל לגרף ומתחת לציר ה-x, או שבחישוב שטח בין שני גרפים של פונקציות נלקח קודם בחשבון הגרף שקרוב יותר לציר ה- x, כלומר הנמוך יותר מבין השניים. במקרים האלה מספיק להפוך את הסימן לחיובי ולקבל את התוצאה המבוקשת.



קישורים קשורים:

1. הערך אינטגרל בויקיפדיה העברית. ויקיפדיה באופן כללי הוא מקור מפוקפק למידע, אך למרות זאת בתחום המתמטיקה הוא אמין באופן יחסי, ואפשר בהחלט ללמוד ממנו.
 
 האינטגרל הלא מסוים בויקיפדיה העברית. מגיע גם לרמה על תיכונית, אבל לא צריך להיבהל. זה לא מאוד מסובך.

 אינטגרציה בחלקים בויקיפדיה העברית.
 
2. מחשבון אינטגרלים - להכניס את הפונקציה וללחוץ על compute.

 
3. עוד מידע על אינטגרלים.

4. דף ובו טבלת אינטגרלים שימושיים להורדה.




   שאלות על הנאמר במאמר זה אפשר לכתוב כתגובה למאמר או לשאול בפורום מתמטיקה בתפוז.

blogTV Live
Copyright©1996-2014, תפוז אנשים בע"מ